süre boyunca toplam değerini değerlendirmek için bir kaynak olan entegrasyon fikrini inceler . 17. yüzyılda iki matematikçi Isaac Newton ve Leibniz tarafından kendi kendine yetecek şekilde kuruldu.
Analizin türev ve entegrasyonla ilgili basit görüşü ilk olarak Isaac Newton tarafından planlandı. Aynı sıralarda Leibniz bağımsız olarak benzer fakat farklı bir analiz sistemi geliştirdi. Bugün hala kullanılan ∫ integral gösterimini ve türev sembolünü (d/dx) tanıttı.
İntegral hesap, çevreye ilişkin farkındalığımızı arttırmada ve çeşitli alanlardaki gerçek dünya sorunlarını çözmede hala önemli bir rol oynamaktadır ve hala matematik derslerinde temel bir bileşen olarak öğretilmektedir.
Bu yazımızda integral hesabı, tanımları, notasyonu, türleri, uygulamaları ile detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.
İntegral Hesabın Tanımları
İntegral hesap öncelikle entegrasyon kavramını içerir. Esas olarak niceliklerin birikimini ölçen bir fonksiyonun integralini bulma sürecidir.
Kesin integral
Belirli integral, belirli bir aralıkta bir eğrinin altındaki işaretli alanı ölçer. Sembolik olarak ∫f(x)dx olarak temsil edilir; burada “f(x)” fonksiyon, “dx” integral değişkenini ve ∫ integral işareti de integral alma sürecini belirtir.
Belirsiz İntegral (Terstürev)
Terstürev olarak da bilinen belirsiz integral, diferansiyellendiğinde orijinal fonksiyonu veren bir fonksiyonun genel formunu temsil eder. ∫f(x )dx + C olarak gösterilir , burada “C” integral sabitidir.
İntegral Hesabının Gösterimi
Gösterimi anlamak, integral hesabında doğru gösterim ve hesaplama için önemlidir.
● ∫-İntegral işareti entegrasyon sürecini temsil eder.
● F(x) entegre edilecek fonksiyonu ifade eder.
● Entegrasyon değişkeni dx ile temsil edilir.
● a ve b-Belirli bir integralde integralin limitlerini tanımlayın; burada “a” alt sınır ve “b” üst sınırdır.
● C-Belirsiz bir integralin integral sabitini temsil eder.
İntegral Hesap Türleri
entegre edilen fonksiyonun doğasına bağlı olarak farklı türleri içerir .
|
Temel İntegraller |
Bunlar, polinom denklemi üstel, logaritmalar ve trigonometrik fonksiyonlar dahil olmak üzere temel işlemleri içerir. |
|
Uygunsuz İntegraller |
, entegrasyon sınırlarının birinde veya her ikisinde tanımlanamayan işlevlerle ilgilidir . |
|
Kısmi Kesir Ayrışımı |
Bu teknik, karmaşık rasyonel fonksiyonları daha basit kesirlere bölerek entegrasyonu kolaylaştırır. |
|
Parçalara göre entegrasyon |
İki fonksiyonun çarpımının integralini almak için kullanılan bir yöntem. |
|
Trigonometrik İntegraller |
Trigonometrik fonksiyonlar içeren fonksiyonların integralini içerir. |
İntegral Hesabının günlük hayattaki uygulamaları
İntegral hesabın farklı alanlarda kapsamlı uygulamaları bulunması, onun derin ilgisini göstermektedir.
● Altındaki Alan : Eğrilerin sınırladığı alanın hesaplanması belirli integrallerin temel bir uygulamasıdır.
● Hacim ve Yüzey Alanı: İntegral kullanarak üç boyutlu şekillerin hacimlerini ve yüzey alanlarını bulmaya yardımcı olur.
● Fizik: İntegral hesap, fizikte iş, momentum ve enerji gibi niceliklerin hesaplanmasında esastır.
● Ekonomi: Tüketici ve üretici fazlasının hesaplanmasında ve ayrıca arz ve talep eğrilerinin analizinde uygulanır.
● Mühendislik: Akışkanlar dinamiği, ısı transferi ve elektrik devreleriyle ilgili problemlerde kullanılır.
Örnekler
Bu bölümde integral hesabını bir örnek yardımıyla detaylı olarak inceleyeceğiz.
Örnek 1:
3 - 5x 2 + 2x -2 fonksiyonu için eğrinin altında kalan alanı [2, 4] aralığında belirleyelim .
Çözüm:
Aşama 1:
Öncelikle yukarıdaki fonksiyonun belirli integralini kullanacağız.
⇒ U = ∫ 4 2 (3x 3 – 5x 2 + 2x -2) dx
Adım 2:
Terimi terime entegre edin.
[(3x 3+1 /3+1) – (5x 2+1 /2+1) + (2x 1+1 /1+1) – 2x] 4 2
Aşama 3:
Daha büyük ve daha küçük sınırlamalar değerlendirilmelidir.
[3/4 (4) 4 – 5/3 (4) 3 + 2/2 (4) 2 – 2(4)] – [ 3/4 (2) 4 – 5/3 (2) 3 + 2/ 2 (2) 2 – 2(2)]
Basitçe tüm terimler uygun cebirsel kuralları kullanarak.
3 × 256/4 – 5 × 64/3 + 2 × 16/2 – 2(4) – 3 × 16/4 – 5 × 8/3 + 2 × 4/2 – 2(2)
3 × 64 – 5 × 64/3 + 16 – 8 – 3 × 4 – 5 × 8/3 + 4 – 4
192 – (5 × 64/3) + 16 – 8 – 12 – (5 × 8/3)
İntegralin cevabı için kesir terimlerinin LCM'sini alın.
⇒ U = 188 – (320/3) – (40/3)
⇒ U = 188 – ((320 – 40)/3)
⇒ U = 188 – (280/3)
⇒ Ü = (564 – 280)/3
⇒ Ü = 284/3
İntegral hesap makinesi problemlerini manuel hesaplamalar yerine çevrimiçi olarak çözmek için, integral hesaplama makinesi kullanışlı bir araç olacaktır.
Örnek 2:
4 – 3x 2 + x - 5 fonksiyonu ve [0, 3] aralığı verildiğinde, eğrinin altındaki alanı bulalım.
Çözüm:
Aşama 1:
Öncelikle yukarıdaki fonksiyonun belirli integralini kullanacağız.
⇒ U = ∫ 3 0 (10x 4 – 3x 2 + x - 5) dx
Adım 2:
Terimi terime entegre edin.
⇒ U = [(10x 4+1 /4+1) – (3x 2+1 /2+1) + (x 1+1 /1+1) – 5x] 3 0
Aşama 3:
Daha büyük ve daha küçük sınırlamalar değerlendirilmelidir.
⇒ U = [10/5 (3) 5 – 3/3 (3) 3 + 1/2 (3) 2 – 5(3)] – [ 10/5 (0) 5 – 3/3 (0) 3 + 1/2 (0) 2 – 5(0)]
Basitçe tüm şartlar.
2 × 243 – 27 + 9/2 – 15 – 0 – 0 + 0 – 0
486 – 27 + 9/2 – 15
486 – 42 + (9/2)
İntegralin cevabı için kesir terimlerinin LCM'sini alın.
⇒ U = 444 + (9/2)
⇒ Ü = (888 + 9)/2
⇒ Ü = 897/2
Özet
Bu makalede, karmaşık gerçek dünya problemlerinin üstesinden gelmek için önemli olan tanımları, gösterimleri, türleri ve uygulamalarıyla integral hesabını inceleyeceğiz. Verilen örneklerle artık integral hesabı araştırmak ve çalışmalarınızda daha ileri düzeyde uygulamak için sağlam bir temele sahipsiniz.
Sıkça sorulan soru
Soru 1:
Trigonometrik integrali tanımlayın
Çözüm:
Trigonometrik fonksiyonlar içeren fonksiyonların integralini içerir.
Soru 2:
Temel integralin tanımı
Çözüm:
Bunlar, polinom denklemi üstel, logaritmalar ve trigonometrik fonksiyonlar dahil olmak üzere temel işlemleri içerir.
Soru 3:
Belirli integral nedir?
Çözüm:
Belirli integral, belirli bir aralıkta bir eğrinin altındaki işaretli alanı ölçer. Sembolik olarak ∫f(x )dx olarak temsil edilir ; burada “f(x)” fonksiyon, “dx” integral değişkenini ve integral işareti ∫ integral sürecini belirtir.